Alkalmazott matematika I. MT1002 tematika

Sorozatok. Sorozatok monotonitása, korlátossága. Alsó- felső korlát, pontos alsó-, felső korlát. Monotonitás és korlátosság kapcsolata. Határérték. Nevezetes sorozatok határértéke: 1/n, q az n-ediken, 1+1/n az n-ediken, n-edik gyök c, n-edik gyök n. 0*|K|->0. Határérték egyértelműsége. Monoton korlátos sorozat konvergens.

Véges tag megváltoztatása. Részsorozat. Sorozat és részsorozat konvergenciája. Konvergencia és korlátosság. Rendőr tétel. Cauchy-féle konvergencia-kritérium. Műveletek sorozatokra, művelet és határátmenet elvégzésének sorrendje. Tágabb értelemben vett határérték. További nevezetes sorozatok: polinom/polinom, polinom/exponenciális, exponenciális/faktoriális.

Számsor fogalma és konvergenciája. N-edik részletösszeg. Zénón apóriája. Szükséges feltétel sor konvergenciájára. Leibniz tétele. Műveletek sorokkal: összeadás, konstanssal való szorzás, zárójelezés. Ellenpéldák: zárójel elhagyása, tagok felcserélése. Mértani és harmonikus sor. Mértani sor összegképlete.

Abszolút konvergens sor. Abszolút konvergens és konvergens sorok viszonya. Abszolút konvergens sor tagjainak felcserélése. Pozitív tagú sorok konvergencia-kritériumai: majoráns kritérium, D'Alambert-féle hányados kritérium, Cauchy-féle gyökkritérium.

Függvény monotonitása és korlátossága. Függvény határértéke, folytonossága. Abszolút és helyi szélső érték. Zárt intervallumon folytonos függvény tulajdonságai: korlátosság, abszolút minimum, maximum felvétele. Végtelen, mint határérték. Határérték a végtelenben. Egyoldali határérték és folytonosság. Nevezetes függvény határértékek: X tart 0 esetén 1+x az 1/x-ediken, sin(x)/x. Konvex, konkáv függvények.

A differenciálszámítás geometriai bevezetése. Alapfogalmak: differencálhányados, derivált. Egyoldali differenciálhányados. Elemi függvények deriváltjai. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata. Differenciálási szabályok. Rolle tétel.

Függvénysor, hatványsor. Az n-edik derivált. Taylor-polinom, Taylor-sor. Differenciálható függvények vizsgálata; monotonitás, szélsőérték, konvexitás. Teljes függvényvizsgálat. A L'Hospital-szabály. Banach-féle fixpont-tétel.

Határozott és határozatlan integrál. Integrálási szabályok. Newton-Leibniz formula. Terület, forgástest térfogat, ívhossz számítás.

Számonkérés: Két zárthelyi dolgozat, a félév közepén és végén. Mindkét dolgozatban elméletet és gyakorlatot is számonkérünk, körülbelül egyenlő arányban.

Irodalom

Kántor Sándor : Analízis

W. Rudin: A matematikai analízis alapjai

                                                                                                                                                                Dr. Blahota István, PhD

                                                                                                                                                                    főiskolai docens