Rajzoljunk fraktálokat!

Tartalomjegyzék:

Röviden a fraktálokról

A fraktálok két tulajdonságát szokták kiemelni.

- Önhasonló objektumok
Az egyes részeit kinagyítva az eredetihez többé kevésbé hasonló objektumot kapunk.

- Törtdimenziójú objektumok
Definiálhatunk egy fraktális dimenziót a következőképpen. Osszuk fel az objektumot N darab egybevágó, az eredetihez hasonló részre. A hasonlóság aránya legyen r. Így a fraktális dimenzió: D = log N / log (1 / r).
Nézzünk néhány példát ezen definíció alkalmazására:

N = 4 r = 1 / 4 D = log 4 / log 4 = 1
N = 4 r = 1 / 2 D = log 4 / log 2 = 2
N = 8 r = 1 / 2 D = log 8 / log 2 = 3
A fenti három példában a számított fraktális dimenzió természetesen egész értékűre adódott.
Az alábbi példában a görbe felbontását rekurzív módon végtelenül finomítva egy ún. Koch görbét kapunk. Ez már egy önhasonló, fraktális objektum.
N = 4 r = 1 / 3 D = log 4 / log 3 =1,26

Algoritmusok

Fraktáltenisz

A képet geometriai transzformációk sorozatos ismétlésével (ún. iterált függvényrendszerek segítségével) állíthatjuk elő.

Az affin transzformációk kicsinyítést, eltolást és forgatást tartalmazhatnak. Lényeges, hogy kontraktívak legyenek, azaz tetszőleges ponthalmazt transzformálva csökkenjen a pontok közötti távolság.
A véletlenszerű választás az egyes transzformációk közül úgy történjen, hogy azokra, amelyek az eredeti kép nagyobb hányadát lefedő részhez tartoznak arányosan gyakrabban kerüljön sor.

Példák:

1. A négyzetet négy részre osztottuk fel, amelyekhez az alábbi transzformációkat rendelhetjük:

1. x' = x / 2 y' = y / 2
2. x' = x / 2 + a / 2 y' = y / 2
3. x' = x / 2 y' = y / 2 + a / 2
4. x' = x / 2 + a / 2 y' = y / 2 + a / 2

Pascal nyelven a fraktáltenisz algoritmusa

2. A már bemutatott Koch görbét szintén négy, az eredetihez hasonló résszel fedhetjük le:

1. kicsinyítés 1/3-ára
2. kicsinyítés 1/3-ára forgatás 60°-kal eltolás "a"-val
3. kicsinyítés 1/3-ára horizontális tükrözés forgatás 120°-kal eltolás "2a"-val
4. kicsinyítés 1/3-ára eltolás "2a"-val

Pascal nyelven a fraktáltenisz algoritmusa

3. A klasszikus példa, egy természetes objektum, páfrány kirajzolása:

1. kicsinyítés forgatás eltolás függőlegesen
2. kicsinyítés forgatás eltolás függőlegesen
3. kicsinyítés forgatás eltolás függőlegesen
4. x' = x / 500 y' = y / 4

Pascal nyelven a fraktáltenisz algoritmusa

Feladatok:

Készítsük el az alábbi alakzatokat kirajzoló fraktáltenisz algoritmusokat!

Rekurzív algoritmus

Az eddig látott fraktális alakzatok önhasonló tulajdonsága miatt szinte kínálja magát a rekurzív előállítási módszer. Természetesen így csak egy közelítést kapunk, a rekurzív hívásoknak valamikor le kell állniuk, de ez praktikusan egybeeshet a képernyő felbontásával.

Példák:

1. A már jól ismert Koch görbe:

Pascal nyelven a rekurzív algoritmus

2.

Pascal nyelven a rekurzív algoritmus

Feladatok:

Készítsük el az alábbi alakzatokat kirajzoló rekurzív algoritmusokat!

A káosz birodalma

Vizsgálódjunk a komplex számsík közepe táján. Egy komplex szám a következő alakban írható fel: z = x+ yi , ahol x-t és y-t a szám koordinátájaként képzelhetjük el, x a valós y a képzetes rész.
Induljunk ki egy számból (pl. z = 0 + 0i), majd végezzük el rajta sorozatosan egymás után a következő műveletet: z := z2 + c , ahol c = a + bi egy állandó komplex szám. Ekkor z bolyongani kezd a komplex számsíkon, kaotikus viselkedést mutat. Elképzelhető, hogy z a végtelenbe menekül, azaz a nagysága (távolsága a számsíkon az origótól) a végtelenhez tart. Mandelbrot - halmaznak nevezzük azon c komplex számok halmazát, amelyre z nagysága bármely számú művelet elvégzése után is véges marad. (A halmazt Benoit B. Mandelbrot amerikai tudósról nevezték el.). Ha z-t nem 0-ról indítjuk, akkor a halmaz egy torzított változatát kapjuk.
A halmaz szélén az egyes részeket újra és újra kinagyítva visszatérő, egymáshoz hasonló motívumokat, indákat, spirálokat fedezhetünk fel. Nem véletlenül nevezte Hubbard a Mandelbrot - halmazt a matematika legbonyolultabb képződményének.

Mandelbrot - halmaz előállítása

Bár a halmaz maga végtelenül bonyolult, mégis egy viszonylag egyszerű algoritmussal kirajzolhatjuk. Vegyük sorra a komplex számokat a számsík egy területén. Ezek lesznek c értékei. Minden c esetén z nulla értékéből kiindulva végezzük a z := z2 + c iterációt. Figyeljük, hogy z nagysága milyen gyorsan tart végtelenhez (hány iteráció után éri el pl. a 100-at), és az egyes iteráció számokhoz egy-egy színt rendelünk. Ha bizonyos számú iteráció (pl. 100) után sem értük el a küszöbértéket, akkor ezt a c számot a Mandelbrot - halmazhoz tartozónak könyvelhetjük el.
Ezek után egy kérdés maradt, hogy a komplex számsík mely területéről induljunk ki. Ha a (-2 ; -1,25), (0,5 ; 1.25) téglalapon pásztázzuk végig a c értékét, akkor az egész halmazt megkapjuk. Ezen területen kívül a z a végtelenhez tart.
Szebbnél szebb alakzatokat kaphatunk, ha a halmaz szélein az egyes területeket ismételten kinagyítjuk.

Egy lehetséges megvalósítása a teljes Mandelbrot - halmazt kirajzoló algoritmusnak.

Az alábbi képen a teljes Mandelbrot - halmazt láthatjuk. Rákkattintva végigkövethetünk egy nagyítássorozatot.

Julia - halmazok

A Mandelbrot - halmaz rajzolásakor a z := z2 + c képletben a c értéke tartozik a komplex számsík egyes pontjaihoz. Maga a Mandelbrot - halmaz is végtelenül bonyolult, de ráadásul még minden pontjához, azaz minden c értékhez tartozik egy Julia - halmaz, amelyet úgy kapunk, hogy az adott c értéknél a z kezdő értékét pásztázzuk a komplex számsík egy területén, és vizsgáljuk az iteráció során a z végtelenbe menekülését. A halmazok Gaston Julia francia matematikusról kapták a nevüket.
A Julia - halmazok rajzolása során megfigyelhetjük, hogy ha a c pontot a Mandelbrot - halmaz belsejéből választjuk, akkor a halmaz összefüggő, ha a Mandelbrot - halmazon kívülről választjuk, akkor pedig több darabból áll.

Egy lehetséges megvalósítása a Julia- halmazt kirajzoló algoritmusnak.

Az alábbi képecskére kattintva egy kis kirándulást tehetünk a Julia - halmazok világában

Irodalom:

1. A. K. Dewney: A számítógép mint mikroszkóp behatolhat a matematika legbonyolultabb területeire, Tudomány 1985/2. 8-13. o.
2. A. K. Dewney: Szépség és mélység: a Mandelbrot-halmaz, valamint Julia nevű rokonainak serege, Tudomány 1988/1. 6-10. o.
3. A. K. Dewney: Hogyan változtassuk a képzelet csapongását fraktálflórává és -faunává?, Tudomány 1990.